标准正交化 - Schmidt 正交化

定义

若向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关，其标准正交化的方法如下：

正交化

取：

\begin{aligned} β_{1} = α_{1}, \\ β_{2} = α_{2} - \frac{(α_{2}, β_{1})}{(β_{1}, β_{1})} β_{1} \\ β_{3} = α_{3} - \frac{(α_{3}, β_{1})}{(β_{1}, β_{1})} β_{1} - \frac{(α_{3}, β_{2})}{(β_{2}, β_{2})} β_{2} \end{aligned}

求得的 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 是正交向量组。

假设向量 $α_{3} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ，向量 $β_{1} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 是向量的坐标分量, 则：
$(α_{3}, β_{1}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

单位化

取：

η_{1} = \frac{β_{1}}{| β_{1} |}, η_{2} = \frac{β_{2}}{| β_{2} |}, η_{3} = \frac{β_{3}}{| β_{3} |}

求出的 $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 即为标准正交向量组。